Делимост на числата

Повечето твърдения в теорията на числата, както и в математиката изобщо, са свързани с цели класове от обекти. Затова нека въведем няколко математически понятия.

Казваме, че числото х е кратно на числото у, когато х се дели без остатък на у. Например 2008 е кратно на 4, защото 2008 : 4 = 502.

         2008 е кратно на 2, защото 2008 : 2 = 1004.

               2008 обаче не е кратно на 3     2008 :3 = 669 и остатък 1.

Казваме, че у е делител на х, когато х се дели без остатък на у.

В горния пример показахме, че числата 2 и 4 са делители на числото 2008, а 3 не е негов делител.

      Числото 1 дели всяко цяло число и друго естествено число с това свойство няма.

      В сила са и свойствата::

      1.За произволно число a≠0 имаме а дели а, т.е. релацията делимост притежава свойството рефлексивност.

      2.Ако b дели а и b дели с, то b дели с, т.е. е в сила свойството транзитивност.

      3.Ако b дели а и b дели c, то b дели a+c и a-c

      4.Ако b дели a и с е призволно цяло число, то b дели а.с

      5.Ако b дели всяко от числата a₁,a₂,a₃,…,a_n, то при произволни цели числа с₁,с₂,с₃,…,с_n, числото b дели и числото a₁.c₁+a₂.c₂+a₃.c₃+…+a_n.c_n.

      6.Ако b дели сумата a₁+a₂+a₃+…+a_n, където a₁,…a_n са цели числа, и b дели всяко от числата a₂,a₃,…a_n, то b дели и числото a₁

      7.Ако b дели а и с≠0 е произволно цяло число, то b.c дели а.с

      В сила са и свойствата:

      Числото 0 е кратно на всяко естествено число.

      Няма число, което има делител 0.

      Нека намерим делителите на няколко числа:, 

      Оказва се, че има числа, притежаващи точно два делителя – числото 1 и самото число (например 5). Такива числа наричаме прости числа.

      Простите числа до 50 са:2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47

      Числата, които имат повече от два делителя, се наричат съставни.

      Примери за съставни числа: 10,12,14,15,16,18

      Един прост метод за намиране на всички прости числа, които не надминават дадено естествено число, принадлежи на древногръцкия математик Ератостен. Постъпваме по следния начин: написваме в естествения ред всички цели числа от 1 до даденото число. Единицата по определение не е просто число, затова я зачертаваме. Числото 2 няма други делители освен 1 и 2 и следователно е просто число. Него подчертаваме. След това зачертаваме през едно всички числа след 2: 4,6,8 и т.н. Това са съставните числа, които имат делител 2. Така получаваме 

      Първото от незачертаните числа след 2, а именно 3, подчертаваме. То е просто число. След това зачертаваме през две всички числа след 3. Това са съставните числа, които имат делител 3. Като продължим този процес, получаваме подчертани простите числа.

      Ератостен не зачертавал числата, а пробождал дупчици над тях. Така се получило нещо като решето, през дупчиците на което се пресявали съставните числа, а простите оставали. Затова този метод за намиране на простите числа се нарича „решето на Ератостен”.

      Във връзка с понятието делимост на числата са т. нар. признаци за делимост. 

      Признак за делимост на 2:

      На 2 се делят само числата, които имат цифра на единиците 0,2,4,6,8, т.е. четните числа.

      Например:на 2 се делят числата 64,182,1000000 

      Признак за делимост на 3:

      На 3 се делят само числата, на които сборът от цифрите се дели на 3.

      Пример:на 3 се дели числото 183, защото 1+8+3=12, а 12:3=4 => 183 се дели на 3 

      Признак за делимост на 4:

      На 4 се делят само тези числа, на които последните две цифри образуват число, което се дели на 4 

      Признак за делимост на 5:

      Когато цифрата на единиците е 0 или 5, числото се дели на 5. 

      Признак за делимост на 6:

      На 6 се делят само тези числа, които се делят и на 2 и на 3. 

      Признак за делимост на 9:

      На 9 се делят само тези числа, на които сборът от цифрите им се дели на 9 
 

      Признак за делимост на 10:

      На 10 се делят точно тези числа, на които цифрата на единиците е 0 

      От четирите аритметични действия: събиране, изваждане, умножение и деление, най-своеобразно е делението. То притежава свойства, които не са в сила при останалите аритметични действия. Да вземем например дори работата с нулата. При всяко друго действие нулата е равноправно число: тя може да се прибавя, изважда и умножава. Да делим на 0 обаче е забранено!

      Делението проявява особеност не само при работа с 0. Когато събираме, изваждаме, умножаваме цели числа, получаваме отново цели числа. Когато делим две цели числа, не винаги се получава цяло число. Пример: 5:2, т.е. делението не винаги е изпълнимо в множеството на целите числа.

      Благодарение на тази важна особеност на делението в математиката се изгражда специална теория за делимост на числата.